高考文科数学概率精细选
1
、
[2014
·
湖
北卷
]
计划在某水库建一座至多安装
3
台发电机的水电站,过去
50
年的水
文资料显示,水年入流量
....
X(
年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米
)
都在
40
以上,其中,不足
80
的年份有
10
年,不低于
80
且不超过
120
的年份有
35
年,超
过
120
的年份有
5
年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,
并假设各年的年入
流量相互独立.
(1)
求未来
4
年中,至多
..
有
1
年的年入流量超过
120
的概率.
(2)
水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量
X
限制,并有如下关系:
年入流量
X
40 80 ≤ X ≤ 120 X>120 发电机最多 可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行,则该台年利润为 5000 万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台? 解: (1) 依题意, p 1 = P(40 = 10 50 = 0.2 , p 2 = P(80 ≤ X ≤ 120) = 35 50 = 0.7 , p 3 = P(X>120) = 5 50 = 0.1. 由二项分布得,在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 p = C 0 4 (1 - p 3 ) 4 + C 1 4 (1 - p 3 ) 3 p 3 = 0.9 4 + 4 × 0.9 3 × 0.1 = 0.947 7. (2) 记水电站年总利润为 Y( 单位:万元 ) . ①安装 1 台发电机的情形. 由于水库年入流量总大于 40 ,故一台发电机运行的概率为 1 ,对应的年利润 Y = 5000 , E(Y) = 5000 × 1 = 5000. ②安装 2 台发电机的情形. 依题意, 当 40 时,一台发电机运行, 此时 Y = 5000 - 800 = 4200 , 因此 P(Y = 4200) = P(40 = p 1 = 0.2 ;当 X ≥ 80 时,两台发电机运行,此时 Y = 5000 × 2 = 10 000 ,因此 P(Y = 10 000) = P(X ≥ 80) = p 2 + p 3 = 0.8. 由此得 Y 的分布列如下: Y 4200 10 000 P 0.2 0.8 所以, E(Y) = 4200 × 0.2 + 10 000 × 0.8 = 8840. ③安装 3 台发电机的情形. 依题意,当 40 时, 一台发电机运行, 此时 Y = 5000 - 1600 = 3400 , 因此 P(Y = 3400) = P(40 = p 1 = 0.2 ; 当 80 ≤ X ≤ 120 时, 两台发电机运行, 此时 Y = 5000 × 2 - 800 = 9200 , 因此 P(Y = 9200) = P(80 ≤ X ≤ 120) = p 2 = 0.7 ;当 X>120 时,三台发电机运行,此时 Y = 5000 × 3 = 15 000 ,因此 P(Y = 15 000) = P(X>120) = p 3 = 0.1. 由此得 Y 的分布列如下: Y 3400 9200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以, E(Y) = 3400 × 0.2 + 9200 × 0.7 + 15 000 × 0.1 = 8620. 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机 2 台. 2 、 一款击鼓小游戏的规则如下: 每盘游戏都需击鼓三次, 每次击鼓要么出现一次音乐, 要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音乐获得 20 分,出现三次音乐获得 100 分,没有出现音乐则扣除 200 分 ( 即获得- 200 分 ) .设每次击鼓 出现音乐的概率为 1 2 ,且各次击鼓出现音乐相互独立. (1) 设每盘游戏获得的分数为 X ,求 X 的分布列. (2) 玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?
(3)
玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加
反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
解:
(1)X
可能的取值为
10
,
20
,
100
,-
200.
根据题意,有
P(X
=
10)
=
C
1
3
×
1
2
1
×
1
-
1
2
2
=
3
8
,
P(X
=
20)
=
C
2
3
×
1
2
2
×
1
-
1
2
1
=
3
8
,
P(X
=
100)
=
C
3
3
×
1
2
3
×
1
-
1
2
0
=
1
8
,
P(X
=-
200)
=
C
0
3
×
1
2
0
×
1
-
1
2
3
=
1
8
.
所以
X
的分布列为:
X
10
20
100
-
200
P
3
8
3
8
1
8
1
8
(2)
设“第
i
盘游戏没有出现音乐”为事件
A
i
(
i
=
1
,
2
,
3)
,则
P(A
1
)
=
P(A
2
)
=
P(A
3
)
=
P(X
=-
200)
=
1
8
.
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为
1
-
P(A
1
A
2
A
3
)
=
1
-
1
8
3
=
1
-
1
512
=
511
512
.
因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是
511
512
.
(3)
由
(1)
知,
X
的数学期望为
EX
=
10
×
3
8
+
20
×
3
8
+
100
×
1
8
-
200
×
1
8
=-
5
4
.
这表明,获得分数
X
的均值为负.
因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.
3
、从
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是
6
的概率为
________
.
1
6
4
、为回馈顾客,
某商场拟通过摸球兑奖的方式对
1000
位顾客进行奖励,
规定:每位顾
客从一个装有
4
个标有面值的球的袋中一次性随机摸出
2
个球,
球上所标的面值之和为该顾
客所获的奖励额.
(1)
若袋中所装的
4
个球中有
1
个所标的面值为
50
元,其余
3
个均为
10
元,求:
(i)
顾客所获的奖励额为
60
元的概率;
(ii)
顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.
(2)
商场对奖励总额的预算是
60
000
元,并规定袋中的
4
个球只能由标有面值
10
元和
50
元的两种球组成,或标有面值
20
元和
40
元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额
尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,
请对袋中的
4
个球的面值给出一