数
学
K
单元
概率
K1
随事件的概率
13
.
[2014·
新课标全国卷Ⅱ
]
甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝
3
种颜色的
运动服中选择
1
种,则他们选择相同颜色运动服的概率为
________
.
13.
1
3
[
解析
]
甲有
3
种选法,乙也有
3
种选法,所以他们共有
9
种不同的选法.若他
们选择同一种颜色,则有
3
种选法,所以其对应的概率
P
=
3
9
=
1
3
.
13
.
[2014·
全国新课标卷Ⅰ
]
将
2
本不同的数学书和
1
本语文书在书架上随机排成一行,
则
2
本数学书相邻的概率为
________
.
13.
2
3
[
解析
] 2
本数学书记为数
1
,数
2
,
3
本书共有
(
数
1
数
2
语
)
,
(
数
1
语数
2)
,
(
数
2
数
1
语
)
,
(
数
2
语数
1)
,
(
语数
1
数
2)
,
(
语数
2
数
1)6
种不同的排法,其中
2
本数学书相邻
的排法有
4
种,对应的概率为
P
=
4
6
=
2
3
.
14
.
[2014·
浙江卷
]
在
3
张奖券中有一、二等奖各
1
张,另
1
张无奖.甲、乙两人各抽
取
1
张,两人都中奖的概率是
________
.
14.
1
3
[
解析
]
基本事件的总数为
3
×
2
=
6
,甲、乙两人各抽取一张奖券,两人都中奖只
有
2
种情况,所以两人都中奖的概率
P
=
2
6
=
1
3
.
19
.
[2014·
陕西卷
]
某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车
辆中每辆车的赔付结果统计如下:
赔付金额
(
元
)
0
1000
2000
3000
4000
车辆数
(
辆
)
500
130
100
150
120
(1)
若每辆车的投保金额均为
2800
元,估计赔付金额大于投保金额的概率;
(2)
在样本车辆中,车主是新司机的占
10%
,在赔付金额为
4000
元的样本车辆中,车主
是新司机的占
20%
,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为
4000
元的概率.
19
.
解:
(1)
设
A
表示事件“赔付金额为
3000
元”,
B
表示事件“赔付金额为
4000
元”,
以频率估计概率得
P
(
A
)
=
150
1000
=
0.15
,
P
(
B
)
=
120
1000
=
0.12.
由于投保金额为
2800
元,所以赔付金额大于投保金额的概率为
P
(
A
)
+
P
(
B
)
=
0.15
+
0.12
=
0.27.
(2)
设
C
表示事件“投保车辆中新司机获赔
4000
元”,
由已知,
得样本车辆中车主为新
司机的有
0.1
×
1000
=
100(
辆
)
,
而赔付金额为
4000
元的车辆中,
车主为新司机的有
0.2
×
120
=
24(
辆
)
,所以样本车辆中新司机车主获赔金额为
4000
元的频率为
24
100
=
0.24.
由频率估计概
率得
P
(
C
)
=
0.24.
16
.
、
[2014·
四川卷
]
一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字
1
,
2
,
3
,这三张卡片
除标记的数字外完全相同.
随机有放回地抽取
3
次,
每次抽取
1
张,
将抽取的卡片上的数字
依次记为
a
,
b
,
c
.
(1)
求“抽取的卡片上的数字满足
a
+
b
=
c
”的概率;
(2)
求“抽取的卡片上的数字
a
,
b
,
c
不完全相同”的概率.
16
.
解:
(1)
由题意,
(
a
,
b
,
c
)
所有的可能为:
(1
,
1
,
1)
,
(1
,
1
,
2)
,
(1
,
1
,
3)
,
(1
,
2
,
1)
,
(1
,
2
,
2)
,
(1
,
2
,
3)
,
(1
,
3
,
1)
,
(1
,
3
,
2)
,
(1
,
3
,
3)
,
(2
,
1
,
1)
,
(2
,
1
,
2)
,
(2
,
1
,
3)
,
(2
,
2
,
1)
,
(2
,
2
,
2)
,
(2
,
2
,
3)
,
(2
,
3
,
1)
,
(2
,
3
,
2)
,
(2
,
3
,
3)
,
(3
,
1
,
1)
,
(3
,
1
,
2)
,
(3
,
1
,
3)
,
(3
,
2
,
1)
,
(3
,
2
,
2)
,
(3
,
2
,
3)
,
(3
,
3
,
1)
,
(3
,
3
,
2)
,
(3
,
3
,
3)
,共
27
种.
设“抽取的卡片上的数字满足
a
+
b
=
c
”为事件
A
,
则事件
A
包括
(1
,
1
,
2)
,
(1
,
2
,
3)
,
(2
,
1
,
3)
,共
3
种,
所以
P
(
A
)
=
3
27
=
1
9
.
因此,“抽取的卡片上的数字满足
a
+
b
=
c
”的概率为
1
9
.
(2)
设“抽取的卡片上的数字
a
,
b
,
c
不完全相同”为事件
B
,
则事件
B
包括
(1
,
1
,
1)
,
(2
,
2
,
2)
,
(3
,
3
,
3)
,共
3
种.
所以
P
(
B
)
=
1
-
P
(
B
)
=
1
-
3
27
=
8
9
.
因此,“抽取的卡片上的数字
a
,
b
,
c
不完全相同”的概率为
8
9
.
K2
古典概型
20
.
,
[2014·
福建卷
]
根据世行
2013
年新标准,
人均
GDP
低于
1035
美元为低收入国家;
人均
GDP
为
1035
~
4085
美元为中等偏下收入国家;
人均
GDP
为
4085
~
12 616
美元为中等
偏上收入国家;人均
GDP
不低于
12 616
美元为高收入国家.某城市有
5
个行政区,各区人
口占该城市人口比例及人均
GDP
如下表:
行政区
区人口占城市人口比例
区人均
GDP(
单位:美元
)
A
25%
8000
B
30%
4000
C
15%
6000
D
10%
3000
E
20%
10 000
(1)
判断该城市人均
GDP
是否达到中等偏上收入国家标准;
(2)
现从该城市
5
个行政区中随机抽取
2
个,求抽到的
2
个行政区人均
GDP
都达到中等
偏上收入国家标准的概率.
20
.
解:
(1)
设该城市人口总数为
a
,则该城市人均
GDP
为
8000
×
0.25
a
+
4000
×
0.30
a
+
6000
×
0.15
a
+
3000
×
0.10
a
+
10 000
×
0.20
a
a
=
6400(
美元
)
.
因为
6400
∈
[4085
,
12 616)
,
所以该城市人均
GDP
达到了中等偏上收入国家标准.
(2)
“从
5
个行政区中随机抽取
2
个”的所有的基本事件是:
{A
,
B}
,
{A
,
C}
,
{A
,
D}
,
{A
,
E}
,
{B
,
C}
,
{B
,
D}
,
{B
,
E}
,
{C
,
D}
,
{C
,
E}
,
{D
,
E}
,共
10
个.